Question

已知，⊙O为△ABC的外接圆，AB=BC．
（1）如图1，若AC=2，BC=

10

，求cos∠CBO的值；
（2）如图2，过B作⊙O的切线交直径AD的延长线于E，BC交AD于M，若OM：OA=2：5，求tan∠E的值．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,垂径定理,锐角三角函数的定义

专题：

分析：（1）延长BO交AC于H点，由AB=CB得弧BA=弧BC，根据垂径定理的推论得BH垂直AC，且CH=AH，则CH=1，再利用勾股定理计算出BH，然后根据余弦的定义求解；
（2）和（1）一样得到BO垂直AC，OM=2a，OA=5a，则MD=3a，根据切线的性质得OB⊥BE，则AC∥BE，所以∠E=∠HAO；根据等腰三角形性质得∠MBO=∠OBA，而∠OBA=∠OAB，则∠MBO=∠MAB，于是可判断△MOB∽△MBA，利用相似比可计算出BM=

14

a，再根据相交弦定理可计算出MC=

3 14

2

a，所以BC=

5 14

2

a，即BA=

5 14

2

a，在RtABH和RtAOH中利用勾股定理可计算出OH与AH，然后根据正切的定义求解．

解答：解：（1）延长BO交AC于H点，如图1，
∵AB=CB，
∴弧BA=弧BC，
∴BH垂直AC，且CH=AH，
∴CH=

1

2

AC=1，
在Rt△BCH中，BC=

10

，
∴BH=

BC2-CH2

=3，
∴cos∠CBH=

BH

BC

=

3

10

=

3 10

10

，
即cos∠CBO的值为

3 10

10

；

（2）延长BO交AC于H点，如图2，
则BH垂直AC，且CH=AH，设OM=2a，OA=5a，则MD=3a，
∵BE为⊙O的切线，
∴OB⊥BE，
∴AC∥BE，
∴∠E=∠HAO，
∵BH平分∠ABC，
∴∠MBO=∠OBA，
而∠OBA=∠OAB，
∴∠MBO=∠MAB，
∵∠OMB=∠BMA，
∴△MOB∽△MBA，
∴OM：BM=BM：MA，即2a：BM=BM：7a，
∴BM=

14

a，
∵MA•MD=MB•MC，即7a•3a=

14

a•MC，
∴MC=

3 14

2

a，
∴BC=MC+MB=

5 14

2

a，
∴BA=

5 14

2

a，
在RtABH中，AB²=BH²+AH²，即（

5 14

2

a）²=（OH+5a）²+AH²①，
在RtAOH中，AO²=OH²+AH²，即（5a）²=OH²+AH²②，
由①②可解得OH=

15

4

a，AH=

5 7

4

a，
∴tan∠HAO=

OH

AH

=

3 7

7

，
∴tan∠E=

3 7

7

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、垂径定理、锐角三角函数的定义和三角形相似的判定与性质．