Question

18．如图，直线y=-x+3与x轴交于B点，与y轴交于点C，抛物线y=-x²+bx+c经过B、C两点，且与x轴交于另一点A（A在B的左边）．
（1 ） 求B、C两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）E是抛物线BC段上的一个动点，作EQ⊥AB交BC于F，则线段EF的长是否有最大值？若存在，请直接写出线段EF长的最大值和此时E点坐标；若不存在，请简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直线BC的解析式结合一次函数图象上点的坐标特征即可求出点B、C的坐标；
（2）根据点B、C的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可得出结论；
（3）设点E的坐标为（m，-m²+2m+3），进而可得出点F的坐标，由点E、F的坐标即可得出线段EF关于m的关系式，利用二次函数的性质即可解决最值问题．

解答 解：（1）当x=0时，y=3，
∴点C的坐标为（0，3）；
当y=0时，x=3，
∴点B的坐标为（3，0）．
（2）将点B（3，0）、C（0，3）代入y=-x²+bx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-9+3b+c}\\{3=c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴该抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
（3）假设存在，设点E的坐标为（m，-m²+2m+3）（0＜m＜3），则点F（m，-m+3），
∴EF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m=-$（m-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{9}{4}$，
∵-1＜0，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，EF取最大值，最大值为$\frac{9}{4}$，此时点E的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
故当点E的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）时，线段EF长取最大值，最大值为$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征找出点B、C的坐标；（2）利用待定系数法求出函数解析式；（3）根据二次函数的性质解决最值问题．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．