Question

已知：AC为菱形ABCD的对角线，过C作EC⊥AC，交AB延长线于E．
（1）求证：CD=

1

2

AE；
（2）若四边形ADCE为等腰梯形，AC=

6

，求四边形ADCE的面积．

Answer 1

考点：菱形的性质,等腰梯形的性质

专题：

分析：（1）利用菱形的性质得出EC∥BF，再利用平行线分线段成比例定理得出AB=BE，则AB=BE=CD进而得出答案；
（2）利用等腰梯形以及菱形的性质得出CE=

1

2

AE，进而利用勾股定理得出CM的长，再利用梯形面积求法得出即可．

解答：（1）证明：连接BD，
∵AC、BD为菱形ABCD的对角线，
∴AC⊥BD，AF=CF，AB=BC，
∵EC⊥AC，
∴EC∥BF，
∴AB=BE，
∴AB=BE=CD，
∴CD=

1

2

AE；

（2）解：过点C作CM⊥AE于点M，
∵四边形ADCE为等腰梯形，
∴AD=EC，
∵CD=

1

2

AE，CE=AD=CD，
∴CE=

1

2

AE，
设CE=x，则AE=2x，
∵AC=

6

，
∴x²+（

6

）²=（2x）²，
解得：x=±

2

（负数舍去），
∴CM×AE=AC×EC，
∴2

2

CM=

6

×

2

，
解得：CM=

6

2

，
∴四边形ADCE的面积为：

1

2

（CD+AE）×CM=

1

2

（

2

+2

2

）×

6

2

=

3 3

2

．

点评：此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理和梯形面积公式等知识，根据已知得出CE=

1

2

AE是解题关键．