Question

10、方程2x²+5xy+2y²=2007的所有不同的整数解共有

4

组．

Answer 1

分析：由（2x+y）（x+2y）=669×3=（-669）×（-3）=223×9=（-223）×（-9），从而得出2x+y与x+2y由4种情形，计算得出答案．

解答：解：2x²+5xy+2y²=2007，（2x+y）（x+2y）=669×3=（-669）×（-3）=223×9=（-223）×（-9），
∴2x+y=669和x+2y=3，x=445，y=-221；
2x+y=-669和x+2y=-3，x=-445，y=221；
2x+y=3和x+2y=669，x=-221，y=445；
2x+y=-3和x+2y=-669，x=221，y=-445；
∴以上共有4组整数解，
2x+y=223和x+2y=9，2x+y=-223和x+2y=-9，2x+y=9和x+2y=223，2x+y=-9和x+2y=-223，这4组的解都不是整数．
故答案为：4．

点评：本题考查了一元二次方程的整数根和有理根，虽是竞赛题，但难度不大．