Question

科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：

温度x/℃	…	-4	-2	0	2	4	4.5	…
植物每天高度增长量y/mm	…	41	49	49	41	25	19.75	…

由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．
（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；
（2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？
（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．

Answer 1

解：（1）选择二次函数，设y=ax²+bx+c（a≠0），
∵x=-2时，y=49，
x=0时，y=49，
x=2时，y=41，
∴，
解得，
所以，y关于x的函数关系式为y=-x²-2x+49；
不选另外两个函数的理由：
∵点（0，49）不可能在反比例函数图象上，
∴y不是x的反比例函数；
∵点（-4，41），（-2，49），（2，41）不在同一直线上，
∴y不是x的一次函数；

（2）由（1）得，y=-x²-2x+49=-（x+1）²+50，
∵a=-1＜0，
∴当x=-1时，y有最大值为50，
即当温度为-1℃时，这种作物每天高度增长量最大；

（3）∵10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，
∴平均每天该植物高度增长量超过25mm，
当y=25时，-x²-2x+49=25，
整理得，x²+2x-24=0，
解得x₁=-6，x₂=4，
∴在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，实验室的温度应保持在-6＜x＜4℃．
分析：（1）选择二次函数，设y=ax²+bx+c（a≠0），然后选择x=-2、0、2三组数据，利用待定系数法求二次函数解析式即可，再根据反比例函数的自变量x不能为0，一次函数的特点排除另两种函数；
（2）把二次函数解析式整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）求出平均每天的高度增长量为25mm，然后根据y=25求出x的值，再根据二次函数的性质写出x的取值范围．
点评：本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，以及利用二次函数求不等式，仔细分析图表数据并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．