Question

已知：如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CG⊥AB，垂足为G，AD平分∠CAB交CG于E，过E作EF∥AB，交BC于F，

AC

AB

=n．
（1）求证：

CD

BD

=

AC

AB

；
（2）若n=

3

5

，求

DF

FB

的值；
（3）当DF=1，BF=2时，求AB的值．

Answer 1

分析：（1）由角平分线的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质推知CE=CD；然后由相似三角形△ACE∽△ABD的对应边成比例来证得结论；
（2）设AC=3k，AB=5k．由勾股定理、∠CAG（∠CAB）的余弦三角函数的定义求得CG、CD的值；然后根据“平行线分线段成比例”、等量代换推知

CE

CG

=

CF

BC

=

CD

BC

，利用线段间的和差关系求得DF=k，问题到这里就迎刃可解了；
（3）由（2）知，CD=BF=1.5k，则根据已知条件“DF=1，BF=2”证得BC=5．
根据角平分线定理、余弦三角函数的定义求得

AC

AB

=

GE

CE

=

BF

BF+DF

=

2

3

；然后在直角三角形ABC中根据勾股定理即可求得AB的值．

解答：（1）证明：在Rt△ADC中，
∠CDA=90°-∠1（直角三角形的两锐角互余）；
同理在Rt△AEG中，
∠AEG=90°-∠2．
又∵AD平分∠CAB（已知），
∴∠1=∠2（角平分线定义），
∴∠AED=∠CDE（等量代换），
又∵∠CED=∠AED（对顶角相等），
∴∠CED=∠CDE，
∴CE=CD（等角对等边）；
在△ACE和△ABD中，
∠1=∠2，∠AEC=∠ECD+∠CDE=∠ADB，
∴△ACE∽△ABD，
∴

CE

BD

=

AC

AB

，
∴

CD

BD

=

AC

AB

；

（2）在Rt△ABC中，

AC

AB

=cos∠CAB=

3

5

，
故设AC=3k，AB=5k，则由勾股定理知BC=4k；
∵由（1）知

CD

BD

=

AC

AB

，
∴CD=1.5k，BD=2.5k；
在Rt△ACG中，cos∠CAG=

AG

AC

=cos∠CAB=

3

5

，
∴AG=

9

5

k，
∴CG=

12

5

k（勾股定理）；
又∵EF∥AB，
∴

CE

CG

=

CF

BC

（平行线分线段成比例），
∵由（1）知，CD=CE，
∴

CF

BC

=

CD

CG

，即

CF

4k

=

1.5k

12 5 k

=

5

8

，
∴CF=

5

2

k，
∴DF=CF-CD=k，FB=BD-DF=1.5k，
∴

DF

FB

=

k

1.5k

=

2

3

；

（3）由（2）知，CD=BF，则BC=5．
∵AD平分∠CAB，
∴

AG

AC

=

GE

CE

（角平分线定理），
又∵

AG

AC

=

AC

AB

=cos∠CAB，
∴

AC

AB

=

GE

CE

；
∵EF∥AB，
∴

CF

BC

=

CE

CG

（平行线截线段成比例），
∴

GE

CE

=

BF

CF

（比例的性质），即

GE

CE

=

BF

BF+DF

=

2

1+2

=

2

3

，
∴

AC

AB

=

2

3

；
∵AC²+BC²=AB²，
∴AB=3

5

．

点评：本题考查了相似综合题：相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、勾股定理、余弦三角函数的定义以及角平分线的定义．