Question

已知：如图，边长为2的正五边形ABCDE内接于⊙O，AB、DC的延长线交于点F，过点E作EG∥CB交BA的延长线于点G．
（1）求证：AB²=AG•BF；
（2）证明：EG与⊙O相切，并求AG、BF的长．

Answer 1

证明：（1）易证五边形ABCDE的外角∠FCB=∠EAG=∠FBC，
∵EG∥CB，
∴∠EAG=∠FBC．
∴△EAG∽△FBC．
∴，即BC•AE=AG•BF．
又∵BC=AE=AB，
∴AB²=AG•BF．①

（2）连接EF，由（1）可知FB=FC，即△FBC为等腰三角形，易知BA=CD，
∴FA=FD，
∴EF⊥BC且EF平分BC，
∴EF过圆心O．
又∵EG∥CB，∴EF⊥EG，
∴EG与⊙O相切．
∴EG²=AG•BG．
由（1）可知∠G=∠EAG，∴EG=EA=2，
设AG=x，则2²=x（x+2），解得x=，
∴AG=，代入①中可得：BF=．
分析：欲证AB²=AG•BF，可证△EAG∽△FBC及正五边形ABCDE的特点得出；求AG、BF的长，需连接EF，易证明EF⊥BC，得出EF⊥EG，依据EG与⊙O相切，用切线的性质得出．
点评：乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得出，同时考查了切线的性质．