Question

如图，△ABC与△ADE都是等边三角形（三条边都相等，三个内角都相等的三角形），连接BD、CE交点记为点F．
（1）BD与CE相等吗？请说明理由．
（2）你能求出BD与CE的夹角∠BFC的度数吗？
（3）若将已知条件改为：四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，连接BE、DG，交点记为点M（如图）．请直接写出线段BE和DG之间的关系？

Answer 1

解：（1）BD=CE，
理由是：∵△ABC与△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE 中

∴△BAD≌△CAE （边角边 ），
∴BD=CE；

（2）设BD与AC相交于点H
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠BAH+∠AHB=∠ACE+∠HFC+∠FHC=180°
又∵∠AHB=∠FHC，
∴∠HFC=∠BAH=60°，
即BD与CE的夹角∠BFC为60°，

（3）线段BE和DG之间的关系是BE=DG，BE⊥DG．
分析：（1）根据等边三角形性质得出AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，求出∠BAD=∠CAE，证出△BAD≌△CAE即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠ABD=∠ACE，根据三角形的内角和定理得出∠ABD+∠BAH+∠AHB=∠ACE+∠HFC+∠FHC=180°即可得出∠HFC=∠BAH=60°；
（3）根据正方形性质得出AB-AD，AE=AG，∠BAD=∠GAE=90°，求出∠BAE=∠DAG，根据SAS证△BAE≌△DAG即可．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，正方形的性质，等边三角形的性质等知识点的综合应用．