Question

如图1，以点O为圆心，半径为4的圆交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，点P为弧AC上的一动点，延长CP交x轴于点E；连接PB，交OC于点F．
（1）若点F为OC的中点，求PB的长；

（2）求CP•CE的值；
（3）如图2，过点OH∥AP交PD于点H，当点P在弧AC上运动时，试问

AP

DH

的值是否保持不变；若不变，试证明，求出它的值；若发生变化，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求PB的长，连接AP，可以通过证明△ABP∽△BOF，根据相似三角形的性质得出；
（2）求CP•CE的值，连接BC，CA，易证明AC=BC，得出∠CPB=∠EBC，再证明△BCP∽△ECB，得出比例的乘积形式即可；（3）

AP

DH

的值可以通过比例的形式，证明△CAP∽△ODH得出．

解答：（本题满分8分）
解：（1）连接AP，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠APB=∠FOB=90°．
∵∠ABP=∠FBO，
∴△ABP∽△BOF．
∴

BP

OB

=

AB

BF

．（1分）
∵BF=

OF2+OB2

=2

5

，
∴

BP

4

=

8

2 5

．
∴BP=

16 5

5

．（2分）

（2）连接BC，
∵OC⊥AB，BC=

OC2+OB2

=4

2

，
∴

AC

=

BC

，
∴∠CPB=∠EBC．（3分）
∵∠BCP=∠BCE，
∴△BCP∽△ECB．
∴

BC

CP

=

CE

BC

．（4分）
∴BC²=CP•CE=32．（5分）

（3）

AP

DH

的值保持不变．（6分）
连接PC，AC，
∵OH∥AP，
∴∠APD=∠OHP=

1

2

∠AOD=45°．
∴∠CPA=∠OHD=135°．
又∵∠CAP=∠ODH，
∴△CAP∽△ODH．（7分）
∴

AP

DH

=

AC

OD

=

4 2

4

=

2

．
当点P在弧AC上运动时，

AP

DH

的值保持不变，

AP

DH

的值为

2

．（8分）

点评：本题考查了相似三角形的性质，同时考查了平行线的性质，圆周角的性质，综合性较强．