Question

图①中是一座钢管混凝土系杆拱桥，桥的拱肋ACB可视为抛物线的一部分（如图②），桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，测得拱肋的跨度AB为200米，与AB中点O相距20米处有一高度为48米的系杆．
（1）求正中间系杆OC的长度；
（2）若相邻系杆之间的间距均为5米（不考虑系杆的粗细），则是否存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设该抛物线对应的函数关系式为：y=ax²+c，根据题意知道其上两点，求出a，c；
（2）设存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半，即为25米，解得x，然后再作讨论．

解答：解：（1）∵AB=200，与AB中点O相距20米处有一高度为48米的系杆，
∴由题意可知：B（100，0），M（20，48），
设与该抛物线对应的函数关系式为：y=ax²+c，
则：

10000a+c=0 400a+c=48

，
解得：

a=- 1 200 c=50

，
∴y=-

1

200

x²+50；
∴正中间系杆OC的长度为50m；

（2）设存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半，即为25米，则
25=-

1

200

x²+50；
解得 x=±50

2

，
∵相邻系杆之间的间距均为5米，
∴每根系杆上点的横坐标均为整数，x=±50

2

与实际不符，
∴不存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半．

点评：此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数解决实际问题建立坐标系得出点的坐标是解题关键．