Question

15．矩形OABC两邻边长a、b是关于x的方程x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}$k²+$\frac{7}{4}$=0的两根
（1）求k的取值范围；
（2）矩形对角线的长能否为$\frac{\sqrt{14}}{2}$？请说明理由；
（3）当OABC为正方形时，将其放置在如图所示的直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，M是BC的中点，P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．当△APD是等腰三角形时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据根的判别式，可得答案；
（2）根据根与系数的关系及勾股定理，可得关于k的方程，根据解方程，可得答案；
（3）分类讨论：当PA=PD时，当PA=PD时，当PD=AD时，根据勾股定理，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）由矩形OABC两邻边长a、b是关于x的方程x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}$k²+$\frac{7}{4}$=0的两根，得
△=（k+1）²-4（$\frac{1}{4}$k²+$\frac{7}{4}$）＞0，
解得k＞3；
（2）矩形对角线的长不能为$\frac{\sqrt{14}}{2}$，理由如下：
a+b=k+1，ab=$\frac{1}{4}$k²+$\frac{7}{4}$，
a²+b²=（a+b）²-2ab=（k+1）²-2（$\frac{1}{4}$k²+$\frac{7}{4}$）=（$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²，
化简，得
k²+4k-12=0．
解得k₁=2，k₂=-6，
∵k＞3，
∴矩形对角线的长不能为$\frac{\sqrt{14}}{2}$；
（3）当OABC为正方形时，k=3，
原方程为x²-4x+4=0，
解得x₁=x₂=2，
∴OA=AB=BC=OC=2，CM=BM=1．
①当PA=PD时，OP=m，PC=2-m，CM=BM=1，
PA²=OP²+OA²=m²+2²，PD²=（2PM）²=4（PM²）=4（PC²+CM²）=4（2-m）²+4，
∴m²+4=4（2-m）²+4，
解得m₁=$\frac{4}{3}$，m₂=4；
②当PA=PD时，BD=PC=2-m，AD=AB+BD=4-m，
PA²=PD²，
即m²+2²=（4-m）²，
解得m₃=$\frac{3}{2}$；
③当PD=AD时，4（2-m）²+4=（4-m）²，
解得m₄=$\frac{8}{3}$，m₅=0，
综上所述：m₁=$\frac{4}{3}$，m₂=4，m₃=$\frac{3}{2}$，m₄=$\frac{8}{3}$，m₅=0．

点评 本题考查了一次函数综合题，利用了根的判别式；利用根与系数的关系及勾股定理得出关于k的方程是解题关键；利用勾股定理的出关于m的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．