Question

17．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为直线AB上一点，且AE：EB=3：1，作EF垂直于直线AC，垂足为F，连接FB，则tan∠CFB的值等于$\frac{4\sqrt{3}}{3}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 设BC=x，易得AC=$\sqrt{3}$x，进而根据平行线的性质，可分两种情况：①E在线段AB上时；②E在AB延长线上时；在Rt△BFC中，根据三角函数的定义计算．

解答 解：设BC=x，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AC=$\sqrt{3}$x．
∵EF⊥AC，BC⊥AC，
∴EF∥BC．
分两种情况：
①E在线段AB上时，如图1，
∵EF∥BC，AE：EB=3：1，
∴AF：FC=AE：EB=3：1，
∴FC=$\frac{1}{4}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x．
在Rt△BFC中，
tan∠CFB=$\frac{BC}{CF}$=$\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{4}x}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
②E在AB延长线上时，如图2，
∵EF∥BC，AE：EB=3：1，
∴AF：FC=AE：EB=3：1，
∴FC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x．
在Rt△BFC中，
tan∠CFB=$\frac{BC}{CF}$=$\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}x}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形，平行线的性质的运用，注意结合三角函数的定义解题．