Question

如图，BC是半圆⊙O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E．
（1）求证：AC•BC=2BD•CD，
（2）若AE=3，CD=2

5

，求弦AB和直径BC的长．

Answer 1

分析：（1）证明：连接OD交AC于点F．由于D是弧AC的中点，根据圆周角定理得到∠ACD=∠ABD=∠CBD，由垂径定理知，AF=CF=0.5AC．由直径对的圆周角是直角知∠BDC=∠CFD=90°，有△CDF∽△BCD．得到

CF

BD

=

CD

BC

．故可证．
（2）易得Rt△CDE∽Rt△CAG，有

CE

CG

=

CD

CA

，即

CE

4 5

=

2 5

CE+3

解得CE=5，在Rt△ACG中，由勾股定理得AG=4，由割线定理知，GA•GB=GD•GC，即4（AB+4）=2

5

×4

5

解得AB=6，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的值．

解答：（1）证明：连接OD交AC于点F，
∵D是弧AC的中点，
∴∠ACD=∠ABD=∠CBD，且AF=CF=0.5AC．
又∵BC为直径，
∴∠BDC=90，又∠CFD=90．
∴△CDF∽△BCD．
∴

CF

BD

=

CD

BC

，故CF•BC=BD•CD．
∴AC•BC=2BD•CD；

（2）解：由（1）得∠ABD=∠CBD，∠BDC=90°，
∴△BCG为等腰三角形，
∴BD平分CG，
∴CG=2CD=4

5

，
在Rt△CDE和Rt△CAG中，由于∠ACD是公共角，
所以Rt△CDE∽Rt△CAG，则

CE

CG

=

CD

CA

，即

CE

4 5

=

2 5

CE+3

，
解得CE=5或CE=-8（舍去）．
在Rt△ACG中，由勾股定理得AG=

CG2-AC2

=

(4 5 )2-(3+5)2

=4，
因为GA•GB=GD•GC，即4（AB+4）=2

5

×4

5

，解得AB=6．
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=

AB2+AC2

=

62+(3+5)2

=10．

点评：本题利用了直径对的圆周角是直角，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，割线定理求解．