Question

6．如图，以点P（-1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2$\sqrt{3}$，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）点E是线段MC（不包括两端点）上的动点，连接BE，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．在点E运动过程中，∠MQG的大小是否发生变化？如果发生变化，说明理由；如果不变，求出∠MQG的度数．

Answer 1

分析 （1）通过垂径定理，求出圆的半径，结合点P的坐标即可求出点B、点C的坐标；
（2）由旋转性质和点的坐标，可以求出三角形ABC和三角形BCM所有角的度数，利用点的坐标和相应角的度数判定点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，进而可以求出∠MQG=2∠MBG=120°．

解答 解：（1）连接PA：
∵PO⊥AD，
∴AO=DO．
∵AD=2$\sqrt{3}$，
∴OA=$\sqrt{3}$．
∵点P坐标为（-1，0），
∴OP=1．
∴PA=2．
∴BP=CP=2．
∴B（-3，0），C（1，0）．

（2）∠MQG的大小不发生变化，∠MQG=120°．
∵△ABC绕点P旋转180°，
∴∠BMC=90°．∠MBC=∠BCA
∵∠COA=90°，OC=1，OA=$\sqrt{3}$，
∴tan∠OCA=$\sqrt{3}$．
∴∠OCA=60°．
∴∠MBC=∠BCA=60°．
∵EG⊥BO，
∵∠BGE=90°．
∴∠BMC=∠BGE=90°．
∵点Q是BE的中点，
∴QM=QE=QB=QG．
∴点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，如图2所示．
∴∠MQG=2∠MBG=120°．

点评 题目考查了圆的综合性质，通过圆与三角形旋转的结合，考查学生对圆综合性质的考查，题目整体较难，适合学生课后培优训练．