Question

探究下表中的奥秘，并完成下面的问题：

一元二次方程	两个根	两根的和与两根的积
x2 -2x+1=0	x1=1，x2=1	x1+x2=2，x1•x2=1
3x2 +x-2=0	x1= 2 3 ，x 2=-1	x1+x2=- 1 3 ，x1•x2=- 2 3
2x2 +5x+2=0	x1=- 1 2 ，x2=-2	x1+x2=- 5 2 ，x1•x2=1

（1）将你发现的结论一般化，并写出来；
（2）运用上述结论解决下面的问题：已知x的一元二次方程x²-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为23，求m的值．

Answer 1

分析：（1）两根之和一次项系数与二次项系数商的相反数，两根之积是常数项与二次项系数的商．
（2）依据x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，根据根与系数之间的关系得到两根之和与两根之积，代入即可得到关于m的方程，即可求得m的值．

解答：解：（1）设ax²+bx+c=0a≠0，且a，b，c是常数）的两个实数根为x₁，x₂．
则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

；


（2）设方程x²-mx+2m-1=0的两个实数根为x₁、x₂，由（1）可知x₁+x₂=m，x₁•x₂=2m-1．
∵x₁²+x₂²=23
即（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=23．
∴m²-2（2m-1）=23
解得：m₁=7，m₂=-3．
∵当m=7时，原方程无实数解，应舍去．
∴当m=-3时，方程的两个实数根的平方和为23．

点评：本题是阅读题，通过观察方程的两根的和与两根的积的特点，得到一元二次方程根与系数的关系，进而应用解决问题，第二个题解决的关键是根据x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，把求m的值的问题转化为解方程得问题．