Question

如图，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点，交双曲线y=（x＞0）于点D，过D作两坐标轴的垂线DC、DE，垂足为C、E．
（1）求证：AD平分∠CDE；
（2）对任意的实数b（b≠0），求证：BE•OE为定值．

Answer 1

解：（1）证明：对于y=x+b，令x=0，则y=b；令y=0，则x=-b，
∴A点坐标为（-b，0），B点坐标为（0，b），
∴OA=OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∴∠DAC=∠OAB=45°
又∵DC⊥x轴，DE⊥y轴，
∴∠ACD=∠CDE=90°，
∴∠ADC=45°，
∴AD平分∠CDE；

（2）∵△OAB为等腰直角三角形，
又∵ED∥OC，
∴△BED为等腰直角三角形，
∴ED=BE，
则BE•OE可化为ED•OE，
即OC•DC，
∴BE•OE=ED•OE=OC•DC=S_△OCD=2×=1为定值．
分析：（1）先用b表示出A点坐标为（-b，0），B点坐标为（0，b），则OA=OB，得到△OAB为等腰直角三角形，得到∠OAB=45°，则∠DAC=∠OAB=45°，而DC⊥x轴，DE⊥y轴，易得∠ACD=∠CDE=90°，∠ADC=45°，即可得到结论；
（2）根据（1）中分析可知，△OAB为等腰直角三角形，由于ED∥OC，则△BED为等腰直角三角形，可知ED=BE，则BE•OE可化为ED•OE，即OC•DC，为三角形OCD的面积．
点评：本题考查了反比例函数综合题，巧妙利用等腰直角三角形的性质和反比例函数k的几何意义是解题的关键．