Question

如图1，在△ABC与△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AB=BD，M、M′分别为AB、BD中点．
（1）探索CM与EM′有怎样的数量关系？请证明你的结论；
（2）如图2，连接MM′并延长交CE于点K，试判断CK与EK之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）CM=EM′．
证明：根据线段中点的概念和已知的AB=BD，得BM=DM′；
在△BCM与△DEM′中，
∵∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，
∴△BCM≌△DEM′，
∴CM=EM′；

（2）CK=KE．理由如下：
如图2，延长MK至L，使KL=MM'，连接LE，
则KL+KM′=MM'+KM′，即KM=LM′，
由（1）可知CM=EM′，
∵BD=AB，M是AB的中点，M'是BD的中点，
∴BM=BM′，
∴∠BMM′=∠BM′M，
由（1）知△BCM≌△DEM′，
∴∠BMC=∠EM′D，
∴∠CMK=∠KM′E，
∴△CMK≌△EM′L，
∴CK=EL，
又∠CKM=∠LKE=∠KLE，
∴KE=LE，
∴CK=KE．
分析：（1）根据线段中点的概念和已知的AB=BD，得BM=DM′；在△BCM与△DEM′中，∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AB=BD，可得△BCM≌△DEM′，则CM=EM′；
（2）延长MK至L，使KL=MM'，连接LE，先证明△CMK≌△EM′L后即可得出答案；
点评：本题考查了直角三角形的性质及三角形的角平分线，中线和高，难度较大，关键是巧妙作辅助线证明三角形全等．