Question

在平面直角坐标系中，把矩形OABC的边OA、OC分别放在x轴和y轴的正半轴上，已知OA=，OC=2．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标；
（2）将矩形OABC绕点O逆时针旋转x°，得到矩形OA₁B₁C₁，其中点A的对应点为点A₁．
①当0＜x＜90时，设AC交OA₁于点K（如图1），若△OAK为等腰三角形，请直接写出x的值；
②当x=90时（如图2），延长AC交A₁C₁于点D，求证：AD⊥A₁C₁；
③当点B₁落在y轴正半轴上时（如图3），设BC与OA₁交于点P，求过点P的反比例函数的解析式；并探索：该反比例函数的图象是否经过矩形OABC的对称中心？请说明理由．

Answer 1

解：（1）A（），B（），C（0，2）．

（2）①x的值为30°或75°，
②由题意得：△OAC≌△OA₁C₁．
∴∠OAC=∠OA₁C₁．
∴∠OAC+∠OC₁A₁=∠OA₁C₁+∠OC₁A₁=90°，
∴∠ADC₁=90°，
∴AD⊥A₁C₁
③在Rt△OA₁B₁中，
∵，
∴，
∴∠A₁OB₁=30°
在Rt△OCP中，
∴．
设反比例函数为，把代入，得，即．
设矩形OABC的对角线OB、AC相交于点Q，则Q是矩形OABC的对称中心，且点Q的坐标为．
把代入，得．
∴反比例函数的图象不经过矩形OABC的对称中心．
分析：（1）由已知OA=，OC=2．可直接得出A、B、C三点的坐标；
（2）①根据△OAK为等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求的x的值为30°或75；
②由题意得：△OAC≌△OA₁C₁．然后求证∠OAC+∠OC₁A₁=∠OA₁C₁+∠OC₁A₁=90°，得∠ADC₁=90°即可，
③根据，利用三角函数求得∠A₁OB₁=30°，设反比例函数为，把代入，求得，然后可证反比例函数的图象不经过矩形OABC的对称中心．
点评：此题主要考查矩形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，解直角三角形等知识点的理解和掌握，此题综合性强，有一定的拔高难度，属于难题．