Question

5．如图：四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD相交于点M，且AC⊥AB，BD⊥CD，过点A作AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F．
（1）求证：△AMB∽△DMC；
（2）求证：AD²=BF•BD；
（3）若BE=1，AE=2，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）因为AC⊥AB，BD⊥CD，所以∠BAC=∠BDC=90°，∠AMB=∠DMC是对顶角，即可证明△AMB∽△DMC；
（2）因为AC⊥AB，BD⊥CD，所以∠BAC=∠BDC=90°，即A、B、C、D四点共圆，可得∠CAD=∠CBD，又由AE⊥BC，所以∠AEB=∠BAC，∠BAC+∠CAD=∠DBC+∠AEB，即∠BAD=∠BFA，∠FBA是公共角，可证△BAD∽△BFA，得和AB，BF，BD有关的比例式，即得AB²=BF•BD，又因为AB=AD，所以AD²=BF•BD；
（3）由勾股定理易求AB的长，则AD的长也可求出，由（2）可知△BAD∽△BFA，因为AB=AD，所以可得AF=BF，设EF=x，在直角三角形BEF中利用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值即可．

解答 证明：（1）∵AC⊥AB，BD⊥CD，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
又∵∠AMB=∠DMC，
∴△AMB∽△DMC；

（2）∵AC⊥AB，BD⊥CD，
∴∠BAC=∠BDC=90°，即A、B、C、D四点共圆，
∴∠CAD=∠CBD，又由AE⊥BC，
∴∠AEB=∠BAC，∠BAC+∠CAD=∠DBC+∠AEB，
∴∠BAD=∠BFA，∠FBA是公共角，
∴△BAD∽△BFA，
∴BD：AB=AB：BF，
即AB²=BF•BD，
∵AB=AD，
∴AD²=BF•BD；
（3）∵△BAD∽△BFA，
∴BA：BF=AD：AF，
∴AB=AD，
∴AF=BF，
设EF=x，则AE=EF=2-x，
∵AE⊥BC，BE=1，
∴BF²=BE²+EF²，
即（2-x）²=1²+x²，
解得：x=$\frac{3}{4}$，
∴EF=$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．