Question

如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC= 1，AB=CD=S，在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK.
(1)若∠1=70°，求∠MKN的度数.
(2)△MNK 的面积能否小于？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由.
(3)如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值.

Answer 1

解：∵ABCD是矩形，    
∴AM// DN
∴∠KNM=∠1.    
∵∠CMN=∠1
∴∠XNM=∠KMN.     
∵∠1 =70°，    
∴∠XNM=∠ KMN= 70°.    
∴∠MKN= 40° 
(2)不能，过M点作ME⊥DN，垂足为点E，则ME=AD=1    
由(1)知∠KNM=∠XMN.     
∴MK= NK  
又MK≥ME
∴NK≥1.
∴S_△AMK=NK·ME≥
∴△MNK 的面积最小值为，不可能小于
    
(3)分两种情况：    
情况一：将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合.   
 设MK= MD=x，则AM=5-x
由勾股定理得：1²+ (5-x)²=x²，   
 解得，x=2.6
 即MD= ND= 2.6.
∴S_△MNK= S_△ACK =×1×2.6 =1.3
   
 情况二：将矩形纸片沿对角线AC 对折，此时折痕为 AC.
设MK=AX= CK=x
则DK=5-x，同理可得MK=NK=2.6.

∴S_△MNK= S_△ACK=×1×2.6 =1.3
∴△MNK的面积最大值为1.3.