Question

如图直角坐标系中，点A的坐标为（-5，0），点C的坐标为（3，0），BC⊥x轴于C点，点D是直线AB与y轴的交点，以点D为圆心，BD为半径的⊙D经过原点，且OB平分∠ABC．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）求直线AB的解析式；
（3）直线AB上是否存在一点M使得△AOM的面积等于△ABC的面积？

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）利用圆的切线的判定方法，经过半径外端与半径垂直的直线是圆的切线，进而得出答案；
（2）首先利用HL定理得出Rt△BOE≌Rt△BOC（HL），进而利用勾股定理得出BC的长，进而求出B点坐标，即可得出直线AB的解析式；
（3）首先求出△ABC的面积，进而得出AM的长，利用M点分别在第一象限以及在第三象限进而求出其坐标即可．

解答：（1）证明：∵以点D为圆心，BD为半径的⊙D经过原点，
∴BD=DO，DO⊥AC，
∴AC是⊙D的切线；

（2）解：如图1，过点O作OE⊥AB于点E，
∵OB平分∠ABC，OE⊥AB，OC⊥BC，
∴OE=CO，
在Rt△BOE和Rt△BOC中
∵

BO=BO EO=CO

，
∴Rt△BOE≌Rt△BOC（HL），
∴BE=BC，
∵点A的坐标为（-5，0），点C的坐标为（3，0），
∴AO=5，CO=EO=3，
在Rt△AOE中，AE=

AO2-EO2

=4，
设BE=BC=x，
∵AB²=AC²+BC²，
∴（4+x）²=8²+x²，
解得：x=6，
∴B（3，6），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
则

-5k+b=0 3k+b=6

，
解得：

k= 3 4 b= 15 4

，
故直线AB的解析式为：y=

3

4

x+

15

4

；

（3）解：如图2，过点M作MF⊥x轴于点F，连接MO，
由（2）得：BC=6，AC=8，
故S_△ABC=

1

2

×6×8=24，
当S_△AOM=24，
则

1

2

×EO×AM=24，
故

1

2

×3×AM=24，
解得：AM=16，
当M在第一象限，则BM=6，
可得BC∥MF，
故△ABC∽△AMF，
则

BC

MF

=

AB

AM

，
故

6

MF

=

10

16

，
解得：MF=9.6，
当y=MF=9.6，故9.6=

3

4

x+

15

4

，
解得：x=7.8，
故此时M点坐标为：（7.8，9.6）；
由以上所求可得：
当M点在第三象限，过点M′作M′G⊥x轴于点G，
∵AO=5，
∴

1

2

GM′×5=24，
解得：M′G=9.6，
当y=-9.6，则-9.6=

3

4

x+

15

4

，
解得：x=-17.8
则此时M点横坐标为：-17.8，
故此时M点坐标为：（-17.8，-9.6）；
综上所述：符合题意的M点的坐标为：（7.8，9.6），（-17.8，-9.6）此时△AOM的面积等于△ABC的面积．

点评：此题主要考查了圆的综合以及切线的判定和待定系数法求一次函数解析式和相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出M点坐标是解题关键．