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(2008•南平质检)如图,开口向上的抛物线y=ax2+2ax-c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点A在x轴的正半轴,点B在x的负半轴,OB=OC.
(1)求证:ac-2a=1;
(2)如果点A的坐标为(1,0),求点B的坐标;
(3)在(2)的条件下,问此抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PAC的周长最小?若存在,求出点P的坐标;不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)已知了OB=OC=-c,因此B点坐标为(-c,0),将其代入抛物线的解析式中,即可得出所要证的条件.
(2)根据抛物线的解析式可得出抛物线的对称轴为x=-1,由于A、B同为抛物线与x轴的交点,因此这两点关于抛物线对称,由此可求出B点的坐标.
(3)本题的关键是确定P点的位置,由于A、B关于抛物线对称轴对称,因此连接BC,直线BC与抛物线对称轴的交点即为P点(依据轴对称图形的性质和两点间线段最短).先求出直线BC的解析式,然后将抛物线对称轴解析式代入直线BC中即可求得P点坐标.(也可通过相似三角形来求解)
解答:(1)证明:∵C(0,-c),OB=OC,
∴B(-c,0)
∵B(-c,0)在抛物线上,
∴ac2-2ac-c=0,
即:ac-2a=1.
(2)解:由题意可知抛物线的对称轴为x=-1,A(1,0)
∴B(-3,0).
(3)解:存在,连接BC,BC与对称轴的交点即为P点.
设对称轴于x轴的交点为F,则△BPF∽△BCO,
即:
∴OP=2;
∴P(-1,-2).
点评:本题考查了抛物线的性质、三角形相似、函数图象交点等知识.
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