Question

如图，A、B的坐标分别为A（2，0）、B（0，4），以B为顶点在第一象限作等腰Rt△ABC，∠ABC=90°．
（1）求点C的坐标；
（2）在y轴上是否存在一点M，使得MA+MC最小，如果存在，请标出点M的位置；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）作CE⊥y轴，CD⊥x轴．
在Rt△BEC和Rt△AOB中，
，
∴△BEC≌△AOB，
∴EC=OB=4，
BE=OA=2，
∴OD=EC=4，
OE=OB+BE=4+2=6．
故C点坐标为（4，6）；

（2）作A的对称点F（-2，0），连接FC，与y轴交于M，
根据轴对称图形的性质，AM=FM，
于是AM+MC=FM+MC=FC，
FC的长为MA+MC的最小值．
因为C（4，6），F（-2，0），
设解析式为y=kx+b，
把C（4，6），F（-2，0）代入解析式得，
，
解得，．
故解析式为y=x+2．
当x=0时，y=2．
故M坐标为：（0，2）．
分析：（1）作CE⊥y轴，构造直角三角形，得到△BEC≌△AOB，求出OD、OE的长即可；
（2）作出A关于y轴的对称点，求出直线CF的解析式，即可求得到M点坐标．
点评：此题考查了相似三角形的性质、轴对称图形的性质、最短路径问题等，有一定的难度，综合性较强，注意作出图形帮助解答．