Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB交AB于点D，点P在AB的延长线上，连结OE、AC、BC，已知∠POE=2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若BD=2OD，且PB=12，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连结OC，根据圆周角定理得∠POE=2∠A，则∠A=∠PCB，由AB是⊙O的直径得到∠ACB=90°，则∠A+∠ABC=90°，由OC=OB得到∠ABC=∠OCB，得到∠OCB+∠PCB=90°，所以OC⊥PC，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）设⊙O的半径为R，则OC=R，OP=R+12，OD=

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3

R，证明△COD∽△POC，然后利用相似比即可得到R的值．

解答：（1）证明：连结OC，如图，
∵∠POE=2∠PCB，
而∠POE=2∠A，
∴∠A=∠PCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
而OC=OB，
∴∠ABC=∠OCB，
∴∠A+∠OCB=90°，
∴∠OCB+∠PCB=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径为R，则OC=R，OP=R+12，
∵BD=2OD，
∴OD=

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3

R，
∵CE⊥AB，
∴∠ODC=90°，
∵∠COD=∠POC，
∴△COD∽△POC，
∴OC：OP=OD：OC，即R：（R+12）=

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3

R：R，
∴R=6．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和三角形相似的判定与性质．