Question

如图所示，已知AE为⊙O的直径，AD为△ABC的BC边上的高．
（1）求证：∠BAE=∠DAC；
（2）若AB=10，AD=6，CD=2

3

，求⊙O的面积．

Answer 1

分析：（1）连接BE，由AE是直径，得∠ABE=90°，而AD为△ABC的BC边上的高，所以∠ADC=∠ABE=90°，即可得到∠BAE=∠CAD；
（2）先利用勾股定理求出AC=

62+(2 3 )2

=4

3

，再利用Rt△ABE∽Rt△ADC，得到

AE

AB

=

AC

AD

，即可计算出直径AE，得到圆的半径，可求出⊙O的面积．

解答：解：（1）连接BE，如图，
∵∠AEB=∠ACD，
而AE是直径
∴∠ABE=90°，
∵AD为△ABC的BC边上的高，
∴∠ADC=∠ABE=90°，
∴∠BAE=∠CAD；

（2）∵AD=6，CD=2

3

，
∴AC=

62+(2 3 )2

=4

3

，
由（1）得△ABE∽△ADC，
∴

AE

AB

=

AC

AD

，
∴AE=

20

3

3

，
∴⊙O的半径为

10 3

3

，
∴⊙O的面积为

100

3

π．

点评：本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了圆周角的推论：直径所对的圆周角为90度．也考查了勾股定理、三角形相似的性质以及圆的面积公式．