Question

如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E. ⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，且AD=3，cos∠BCD=  .

（1）求证：CD∥BF；
（2）求⊙O的半径；
（3）求弦CD的长.

Answer 1

（1）见解析（2）2（3）

解：（1）∵BF是⊙O的切线 ∴AB⊥BF  …………………1分
              ∵AB⊥CD    
∴CD∥BF………………………………………………2分
（2）连结BD
∵AB是直径  ∴∠ADB=90° ………………………………………3分
∵∠BCD=∠BAD cos∠BCD=…………………4分
∴cos∠BAD=
又∵AD=3      ∴AB=4
∴⊙O的半径为2 ……………………………………5分
（3）∵cos∠DAE=    AD=3∴AE= …………………………6分
∴ED= ……………………………………………7分
∴CD=2ED= ………………………………………………………8分
（1）由平行公理可得
（2）连结BD，利用三角函数求得通过已知，即可求得⊙O的半径
（3）利用三角函数求得AE的长，通过勾股定理求得ED的长，从而求得弦CD的长