Question

16．某商场新进一种童装，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价是30元/件时，每天的销售量为200件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种童装，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该童装每天的销售利润最大？
（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该童装的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于20件，且每件童装的利润至少为25元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先计算涨了（x-30）元，则销量减少10（x-30）件，所以销售利润w=（x-20）×销售量；
（2）求顶点坐标的纵坐标就是最大利润；
（3）先计算方案A：根据当x＜35时，y随x的增大而增大，把x=30代入就是最大利润；
方案B：两个条件①每天销售量不少于20件，列式：200-10（x-30）≥20，②每件童装的利润至少为25元，
售价不少于25+20=45，则45≤x≤48，根据x＞35时，y随x的增大而减小，把x=35代入即可，对比并回答问题．

解答 解：（1）w=（x-20）[200-10（x-30）]，
=-10（x-20）（x-50），
=-10x²+700x-10000（20≤x≤50）；
（2）∵w=-10x²+700x-10000=-10（x-35）²+2250，
∴当x=35时，w取到最大值，
即销售单价为35元时，每天销售利润最大；
（3）∵30＜35，且x＜35时，y随x的增大而增大，
方案A的最大利润w=-10（30-35）²+2250=2000元，
∵每天销售量不少于20件，
∴200-10（x-30）≥20，
解得：x≤48，
∵每件童装的利润至少为25元，
∴售价不少于25+20=45，
∴45≤x≤48，
∵x＞35时，y随x的增大而减小，
∴方案B的最大利润w=-10（45-35）²+2250=1250，
2000＞1250，
所以方案A的最大利润更高．

点评 本题考查了二次函数的应用，属于销售利润问题；要明确销售利润=每件的利润×销售的数量，解这类题的一般步骤是：①根据题意列出函数表达式，求出取值范围；②在自变量的取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值．