Question

如图：△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于D
（1）若∠ABC=∠ACD  求证：CA为⊙O的切线；
（2）若E在BD上且DE=CD，连接CE，作DH⊥BC于H交CE于P，求证：PC=PD；
（3）在（2）条件下，若⊙O半径为5，CE与AB交于F，CF=

15

2

，求：CD．

Answer 1

分析：（1）根据∠ABC+∠BCD=90°，可得∠ACD+∠BCD=90°，继而得出BC⊥AC，结合切线的判定定理可得出CA为⊙O的切线；
（2）证明∠PDC=∠PCD即可得出PC=PD；
（3）首先判断△CDF∽△BDC，可得出

CD

BD

=

CF

BC

=

3

4

，继而在Rt△BCD中可求出CD的长度．

解答：解：（1）∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ABC+∠BCD=90°，
又∵∠ABC=∠ACD，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴BC⊥AC，
∴CA为⊙O的切线．

（2）∵∠CDP+∠DCH=90°，∠DBC+∠DCH=90°，
∴∠CDP=∠DBC，
又∵DE=CD，
∴∠DCP=∠DBC=∠CDP，
∴PD=PC；

（3）∵∠DCF=∠DBC，∠CDF=∠BDC=90°，
∴△CDF∽△BDC，
∴

CD

BD

=

CF

BC

=

3

4

，
设CD=3x，则BD=4x，
在Rt△BCD中，BC=

CD2+BD2

=5x，则5x=10，
解得：x=2，
故可得CD=6．

点评：本题考查了圆的综合题，涉及了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定及切线的判定，综合考察的知识点较多，解答本题需要我们熟练切线的判定定理及相似三角形的判定与性质．