Question

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD，BD=4，则四边形ABCD的面积是

8

．

Answer 1

分析：连接AC，分别过点A、C作AM⊥BD于M，CN⊥BD于N．根据四边形ABCD对角互补，可证A、B、C、D四点共圆，根据同一条弦对应的圆心角相等及已知条件可证△CND∽△CBA，根据相似三角形的性质和等比性质可得AB+BC的值，则可求四边形ABCD面积=S_△ABD+S_△CBD．

解答：解：连接AC，分别过点A、C作AM⊥BD于M，CN⊥BD于N．
∵∠ABC=∠ADC=90°，即四边形ABCD对角互补，
∴A、B、C、D四点共圆，
又∵AD=CD，
∴∠ABD=∠CBD=

1

2

×90°=45°（若两条弦相等，则所对应的圆心角相等），
∴AM=BM=

2

2

AB，CN=BN=

2

2

BC，
∵∠CDN=∠CAB（同一条弦对应的圆心角相等），∠CND=∠CBA=90°，
∴△CND∽△CBA，
∴DN：AB=CN：BC=

2

2

，
即有（DN+CN）：（AB+BC）=

2

2

（ 等比 ），
∵BN=CN，
∴（DN+BN）：（AB+BC）=BD：（AB+BC）=

2

2

，
∴AB+BC=

2

BD=4

2

，
∴四边形ABCD面积=S_△ABD+S_△CBD=

1

2

AM•BD+

1

2

CN•BD=

1

2

（AM+CN）•BD=

1

2

×

2

2

（AB+BC）•BD=

1

2

×

2

2

×4

2

×4=8．
故答案为：8．

点评：考查了四点共圆，同一条弦对应的圆心角相等，相似三角形的判定和性质，等比性质，三角形的面积计算，综合性较强，作出辅助线是解题的关键．