Question

已知关于x的方程kx²+（2k-1）x+k-1=0只有整数根，且关于y的一元二次方程（k-1）y²-3y+m=0有两个实数根y₁和y₂
（1）当k为整数时，确定k的值；
（2）在（1）的条件下，若m≥-2的整数，试求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）要分两种情况讨论：
①k=0时，（1）方程为一元一次方程，可计算出此时方程的根是否为整数，若是，则k=0符合要求；
②k≠0时，（1）方程为一元二次方程，用因式分解法求出该方程的两个根，再根据这个方程只有整数根的特点，求出k的整数值，再根据的判别式将不合题意的k值舍去．
（2）将（1）得出的k值代入方程（2）中，首先根据根的判别式判断出m的范围，

解答：解：（1）当k=0时，方程kx²+（2k-1）x+k-1=0化为-x-1=0，x=-1，方程有整数根，
当k≠0时，方程（1）可化为（x+1）（kx+k-1）=0
解得x₁=-1，x₂=

-k+1

k

=-1+

1

k

；
∵方程（1）的根是整数，所以k为整数的倒数．
∵k是整数
∴k=±1
此时△=（2k-1）²-4k（k-1）=1＞0
但当k=1时，（k-1）y²-3y+m=0不是一元二次方程
∴k=1舍去
∴k=0，k=-1；

（2）当k=0时，方程（2）化为-y²-3y+m=0
∵方程（2）有两个实数根
∴△=9+4m≥0，即m≥-

9

4

，若m≥-2
∴当m≥-2时，
∴m的最小值为-2；
当k=-1时，方程（2）化为-2y²-3y+m=0，方程有两个实数根
∴△=9+8m≥0，即m≥-

9

8

∵m≥-2，
∴m≥-

9

8

，
∵m为整数
∴此时m的最小值为-1．

点评：本题考查了根与系数的关系以及根的判别式；需注意的是（1）题不要忽略了（1）方程为一元一次方程的情况．