Question

15．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD的延长线交于点F，且∠AFB=∠ABC．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线．
（2）若CD=2$\sqrt{3}$，OP=1，求线段BF的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明直线BF是⊙O的切线，只要证明AB⊥BF即可．
（2）连接OD，在RT△ODE中，利用勾股定理求出半径OD，由△APD∽△ABF，得$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PD}{BF}$求出BF，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：∵∠AFB=∠ABC，∠ABC=∠ADC，
∴∠AFB=∠ADC，
∴CD∥BF，
∴∠APD=∠ABF，
∵CD⊥AB，
∴AB⊥BF，
∴直线BF是⊙O的切线．
（2）解：连接OD，
∵CD⊥AB，
∴PD=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$，
∵OP=1，
∴OD=2，
∵∠PAD=∠BAF，∠APD=∠ABF，
∴△APD∽△ABF，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PD}{BF}$，
∴$\frac{3}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{BF}$，
∴BF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查切线的判定，垂径定理、勾股定理．相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会条件常用辅助线，属于中考常考题型．