Question

11．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD，连接DE交AC于H．下列结论：①△ACD≌△ACE；②∠ACD=30°；③A、C两点关于DE所在直线对称；④$\frac{{S}_{△AEH}}{{S}_{△CDH}}$=$\frac{EH}{CD}$．其中正确的结论是①②．（把你认为正确的结论的序号都填上）

Answer 1

分析 ①根据等腰直角三角形的性质，可得∠BAC=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，根据SAS，可得答案；
②根据角的和差，可得∠ACE的度数，根据全等三角形的性质，可得答案；
③根据线段垂直平分线的判定，可得答案；
④根据三角形的面积公式，可得答案．

解答 解：如图
①AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，∠BAC=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，在△ACD和△ACE中$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAC=∠EAC=45°}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，∴△ACD≌△ACE，故①正确；
②∠ACE=∠ACB-∠BCE=45°-15°=30°，∵△ACD≌△ACE，∴∠ACD=∠ACE=30°，故②正确；
③∵∠HDA=∠DAH=∠HAE=∠AEH-45°，AH=DH；∵∠DCH=30°，∠CHD=60°，∴CH＞DH，∴CH＞AH，故③错误；
④$\frac{{S}_{△AEH}}{{S}_{△CDH}}$=$\frac{\frac{1}{2}AH•EH}{\frac{1}{2}DH•CH}$=$\frac{AH}{CH}$≠$\frac{EH}{CD}$，故④错误；
故答案为：①②．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用直角三角形的性质得出∠DAC=∠EAC=45°是解题关键，利用了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，三角形的面积公式．