Question

如图在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC=6，对角线OB所在直线的函数解析式为y=

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x．
（1）直接写出C点的坐标；
（2）若D是BC边上的点，过D作DE⊥OB于E，已知DE=3.6．
①求出CD的长；
②以点C为圆心，CD长为半径作⊙C、试问在对角线OB上是否存在点P，使得以点P为圆心的⊙P与⊙C、x轴都相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）C（0，6）；

（2）①在矩形OABC中，∠OCB=90°，
∵OA=BC=8；
∴OB=

OC2+BC2

=10，
在△COB和△EDB中，∠CBO=∠EBD，∠OCB=90°=∠DEB，
∴△COB∽△EDB，
∴

DE

OC

=

BD

BO

，
CD=2；
②如图，过P作PM⊥OA于M、PN⊥OC于N，设点P横坐标为m，
∵点P在直线y=

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x上，
∴OM=NP=m，ON=MP=

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m，
CN=6-

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m，
当⊙P与⊙C外切、与x轴相切时，PC=

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m+2，
在Rt△PCN中，PN²+CN²=PC²m2+(6-

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m)2=(

3

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m+2)2，
∴m²-12m+32=0，
解得m₁=4，m₂=8，
∴P₁（4，3），P₂（8，6），
同理，当⊙P与⊙C内切、与x轴相切时，m2+(6-

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m)2=(

3

4

m-2)2m²-6m+32=0，
∵△=6²-4×1×32＜0，
∴此一元二次方程没有实数解，
使⊙P与⊙C内切、与x轴相切的点P不存在．
∴符合条件的点P是P₁（4，3），P₂（8，6）．