如图甲所示.直线y=x+3交反比例函数图象的第一象限分支于点A.交x轴于点B.且过点C.将直线AB向下平移.线段CA平移到线段OD.此时点D也在该反比例函数的图象上．到原点O(0.0)的平移过程.试写出若A.则点D可表示为．(2)求反比例函数的表达式．(3)若把直线y=x+3向下平移6个单位交反比例函数图象的第一象限分支于点E.求点E的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

14．如图甲所示，直线y=x+3交反比例函数图象的第一象限分支于点A，交x轴于点B，且过点C（-1，2），将直线AB向下平移，线段CA平移到线段OD，此时点D也在该反比例函数的图象上．

（1）通过探究点C（-1，2）到原点O（0，0）的平移过程，试写出若A（m，m+3），则点D可表示为（m+1，m+1）（用含m的代数式表示）．
（2）求反比例函数的表达式．
（3）若把直线y=x+3向下平移6个单位交反比例函数图象的第一象限分支于点E，求点E的坐标．
（4）若线段OC以每秒1个单位长度的速度沿着射线CA的方向平移至O′C′，设平移时间为t（s），则当t为何值时，以O′，C′，A，D为顶点的四边形是菱形？

分析（1）根据平移的性质得出直线OD的解析式为y=x，根据线段CA平移到OD，点C（-1，2），A（m，m+3），得出D（m+1，m+1）；
（2）设反比例函数解析式为y=$\frac{k}{x}$，由A（m，m+3）、D（m+1，m+1）都在反比例函数图象上，得出m（m+3）=（m+1）（m+1），解得：m=1即可；
（3）把直线y=x+3向下平移6个单位得直线y=x-3，解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{x}}\\{y=x-3}\end{array}\right.$即可得出答案；
（4）分两种情况：①当O'C'在AD的左侧时，由菱形的性质和勾股定理得出O'D=AD=O'C'=OC=$\sqrt{5}$，OD=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，求出OO'=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$即可；
②当O'C'在AD的左侧时，同理得出OO'=2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$，得出t=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$即可．

解答解：（1）∵线段OD所在直线是由直线y=x+3平移得到的，
∴直线OD的解析式为y=x，
∵线段CA平移到OD，点C（-1，2），A（m，m+3），
∴D（m+1，m+3-2），
即D（m+1，m+1）；
故答案为：（m+1，m+1）；
（2）设反比例函数解析式为y=$\frac{k}{x}$，
∵A（m，m+3）、D（m+1，m+1）都在反比例函数图象上，
∴m（m+3）=（m+1）（m+1），
解得：m=1，
∴A（1，4），D（2，2），
∴k=1×4=4，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{4}{x}$；
（3）把直线y=x+3向下平移6个单位得直线y=x-3，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{x}}\\{y=x-3}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-4}\end{array}\right.$（舍去），
∴E（4，1）；
（4）分两种情况：①当O'C'在AD的左侧时，如图乙所示：
∵四边形O'C'OD是菱形，
∴O'D=AD=O'C'=OC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵OD=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴OO'=OD-O'D=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$，
∵线段OC以每秒1个单位长度的速度沿着射线CA的方向平移至O′C′，
∴t=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$；
②当O'C'在AD的左侧时，如图丙所示：
同理得出OO'=2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$，
∴t=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$；
综上所述：当t为2$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$或2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$时，以O′，C′，A，D为顶点的四边形是菱形．

点评本题是反比例函数综合题目，考查了反比例函数解析式的求法、坐标与图形性质、平移的性质、勾股定理、直线与双曲线的交点、菱形的性质、解方程组等知识；本题综合性强，有一定难度．

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