Question

（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：
如图①，连接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴S_△ABP=

1

2

AB•PE，S_△ACP=

1

2

AC•PF，S_△ABC=

1

2

AB•CH．
又∵S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC，
∴

1

2

AB•PE+

1

2

AC•PF=

1

2

AB•CH．
∵AB=AC，
∴PE+PF=CH．
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=

7

．点P到AB边的距离PE=

4或10

．

Answer 1

分析：（1）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表示出S_△ABP，S_△ACP，S_△ABC，再由S_△ABP=S_△ACP+S_△ABC即可得出PE=PF+PH；
（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH．

解答：解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴S_△ABP=

1

2

AB•PE，S_△ACP=

1

2

AC•PF，S_△ABC=

1

2

AB•CH，
∵S_△ABP=S_△ACP+S_△ABC，
∴

1

2

AB•PE=

1

2

AC•PF+

1

2

AB•CH，
又∵AB=AC，
∴PE=PF+CH；

（2）∵在△ACH中，∠A=30°，
∴AC=2CH．
∵S_△ABC=

1

2

AB•CH，AB=AC，
∴

1

2

×2CH•CH=49，
∴CH=7．
分两种情况：
①P为底边BC上一点，如图①．
∵PE+PF=CH，
∴PE=CH-PF=7-3=4；
②P为BC延长线上的点时，如图②．
∵PE=PF+CH，
∴PE=3+7=10．
故答案为7；4或10．

点评：本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．