Question

如图，已知抛物线y=-x²+bx+c过点C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于D点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMD的面积；
（3）设点P（m₁，n₁），Q（m₂，n₂）是抛物线上两个不同的点，且关于此抛物线的对称轴对称，请直接写出m₁+m₂的值．

Answer 1

分析：（1）根据函数图象知，抛物线经过（3，8）、（0，5）两点，可将它们代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值．
（2）由于四边形ADMB不规则，所以它们的面积需要转换为其他规则图形的面积来解，设抛物线对称轴与x轴的交点为E，那么四边形ADMB的面积可分为：△AOD、梯形ODME、△BME三部分，A、B、M的坐标易得，根据各图形的面积计算方法，即可求得四边形ABMD的面积．
（3）由于P、Q关于抛物线的对称轴对称，那么m₁+m₂应该等于E点横坐标的2倍，由此得解．

解答：解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c过点D（0，5），C（3，8）
可得

8=-9+3b+c 5=c

，
解得

b=4 c=5

∴抛物线的解析式为y=-x²+4x+5．（3分）

（2）∵y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，
∴其顶点坐标为M（2，9）；
令y=0，即-x²+4x+5=0，
解得，x₁=-1，x₂=5；
∴A（-1，0），B（5，0）；（5分）
设对称轴与x轴的交点为E，
∴四边形ABMD的面积=S_△ADO+S_梯形ODME+S_△MEB
=

1

2

AO•DO+

1

2

（DO+ME）•EO+

1

2

BE•ME
=

1

2

×1×5+

1

2

×(5+9)×2+

1

2

×3×9=30．（8分）

（3）易知抛物线的对称轴为x=2，
故E（2，0）；
已知P、Q关于抛物线的对称轴对称，
∴m₁+m₂=4．（9分）

点评：此题考查了抛物线解析式的确定、顶点坐标以及函数图象与坐标轴交点坐标的求法、图形面积的求法等知识，属于基础题，需要熟练掌握．