Question

数学课上，老师提出：
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y=x²的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的横坐标分别为x_C、x_D，点H的纵坐标为y_H．
同学发现两个结论：
①S_△CMD：S_梯形ABMC=2：3 ②数值相等关系：x_C•x_D=-y_H
（1）请你验证结论①和结论②成立；
（2）请你研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，其他条件不变，结论①是否仍成立（请说明理由）；
（3）进一步研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，又将条件“y=x²”改为“y=ax²（a＞0）”，其他条件不变，那么x_C、x_D与y_H有怎样的数值关系？（写出结果并说明理由）

Answer 1

解：（1）由已知可得点B的坐标为（2，0），点C坐标为（1，1），点D的坐标为（2，4），
由点C坐标为（1，1）易得直线OC的函数解析式为y=x，
故点M的坐标为（2，2），
所以S_△CMD=1，S_梯形ABMC=
所以S_△CMD：S_梯形ABMC=2：3，
即结论①成立．
设直线CD的函数解析式为y=kx+b，
则，
解得
所以直线CD的函数解析式为y=3x-2．
由上述可得，点H的坐标为（0，-2），y_H=-2
因为x_C•x_D=2，
所以x_C•x_D=-y_H，
即结论②成立；

（2）（1）的结论仍然成立．
理由：当A的坐标（t，0）（t＞0）时，点B的坐标为（2t，0），点C坐标为（t，t2），点D的坐标为（2t，4t2），
由点C坐标为（t，t2）易得直线OC的函数解析式为y=tx，
故点M的坐标为（2t，2t2），
所以S_△CMD=t3，S_梯形ABMC=t3．
所以S_△CMD：S_梯形ABMC=2：3，
即结论①成立．
设直线CD的函数解析式为y=kx+b，
则，
解得
所以直线CD的函数解析式为y=3tx-2t²；
由上述可得，点H的坐标为（0，-2t2），y_H=-2t²
因为x_C•x_D=2t²，
所以x_C•x_D=-y_H，
即结论②成立；

（3）由题意，当二次函数的解析式为y=ax²（a＞0），且点A坐标为（t，0）（t＞0）时，点C坐标为（t，at²），点D坐标为（2t，4at²），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则：，
解得
所以直线CD的函数解析式为y=3atx-2at²，则点H的坐标为（0，-2at²），y_H=-2at²．
因为x_C•x_D=2t²，
所以x_C•x_D=-y_H．
分析：（1）可先根据AB=OA得出B点的坐标，然后根据抛物线的解析式和A，B的坐标得出C，D两点的坐标，再依据C点的坐标求出直线OC的解析式．进而可求出M点的坐标，然后根据C、D两点的坐标求出直线CD的解析式进而求出D点的坐标，然后可根据这些点的坐标进行求解即可；
（2）（3）的解法同（1）完全一样．
点评：本题主要考查了二次函数的应用、一次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象的交点等知识点．