Question

10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，$\widehat{BD}$=$\widehat{BA}$，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠1=∠BAD；
（2）求证：BE是⊙O的切线．
（3）若EC=1，CD=3，求cos∠DBA．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理即可得证．
（2）由圆内接四边形的性质可知：∠ECB=∠BAD，又因为∠1=∠BAD，所以∠ECB=∠1，从而可证明∠CBO=∠ECB，所以EC∥OB，

解答 解：（1）∵$\widehat{BD}$=$\widehat{BA}$，
∴∠1=∠BAD，
（2）由圆内接四边形的性质可知：∠ECB=∠BAD，
又∵∠1=∠BAD，
∴∠ECB=∠1，
∵OC=OB，
∴∠1=∠CBO，
∴∠CBO=∠ECB，
∴EC∥OB，
∵∠BEC+∠EBO=180°，
∴∠EBO=90°，
∴BE是⊙O的切线，
（3）∵AC是⊙O的直径，
∴∠CBA=∠CDA=90°，
∵OB=OC，
∴∠1=∠CBO，
∴∠EBC+∠CBO=∠1+∠BAC=90°，
∴∠EBC=∠BAC，
∵$\widehat{BC}=\widehat{BC}$，
∴∠BAC=∠BDC，
∴△EBC∽△EDB，
∴$\frac{EB}{DE}=\frac{EC}{EB}$，
∴EB²=DE•EC=4，
∴EB=2，
∴由勾股定理可知：BC=$\sqrt{5}$，
由（2）可知：∠ECB=∠1，
∴△EBC∽△BAC，
∴$\frac{EC}{BC}=\frac{BC}{AC}$
∴BC²=EC•AC，
∴AC=5，
∵$\widehat{AD}=\widehat{AD}$，
∴∠DBA=∠DCA，
∴cos∠DBA=cos∠DCA=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{3}{5}$

点评 本题考查圆的综合问题，涉及相似三角形的判断与性质，勾股定理，圆周角定理，切线的判定与性质，需要学生灵活运用所学知识进行解答