Question

23、已知，如图，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=8cm，作∠CAE=∠ACE交BC于E，作∠ACF=∠CAF交AD于F．
（1）求证：AECF是菱形；（2）求四边形AECF的面积．

Answer 1

分析：（1）要证明菱形，可以根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”来判定．即先证明平行四边形，再找一组邻边相等即可．
（2）可以利用（1），结合勾股定理列方程求出菱形的一条边，即可求出面积．

解答：解：（1）证明：在矩形ABCD中，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
又∠CAE=∠ACE，∠ACF=∠CAF，
∴∠EAC=∠FCA．
∴AE∥CF．
∴四边形AECF为平行四边形，
又∠CAE=∠ACE，
∴AE=EC．
∴?AECF为菱形．

（2）设BE=x，则EC=AE=8-x，
在Rt△ABE中，
AB²+BE²=AE²，
即4²+x²=（8-x）²．
解之得x=3，
所以EC=5，
即S_菱形AECF=EC×AB=5×4=20．

点评：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．另外考查了勾股定理．