Question

2．一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是4a（cm），宽是3a（cm），这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积．
（1）请用a的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积；
（2）若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每元钱可漆的面积为$\frac{a}{50}$（cm²），则油漆这个铁盒需要多少钱（用a的代数式表示）？
（3）铁盒的底面积是全面积的几分之几（用a的代数式表示）？若铁盒的底面积是全面积的$\frac{3}{4}$，求a的值；
（4）是否存在一个正整数a，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个a，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据图形表示出原长方形铁皮的面积即可；
（2）根据原长方形铁皮的面积剪去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，乘以单价即可得到结果；
（3）用铁盒的底面积除以全面积即可得出底面积是全面积的几分之几，再根据铁盒的底面积是全面积的$\frac{3}{4}$，求出a的值即可；
（4）假设存在，列出铁盒的全面积和底面积的公式，求整数倍数即可．

解答 解：（1）原铁皮的面积是（4a+60）（3a+60）=12a²+420a+3600；
（2）油漆这个铁盒的表面积是：12a²+2×30×4a+2×30×3a=12a²+420a，
则油漆这个铁盒需要的钱数是：（12a²+420a）÷$\frac{a}{50}$=（12a²+420a）×$\frac{50}{a}$=600a+21000（元）；
（3）铁盒的底面积是全面积的$\frac{12{a}^{2}}{12{a}^{2}+420a}$=$\frac{a}{a+35}$；
根据题意得：$\frac{a}{a+35}$=$\frac{3}{4}$，
解得a=105；
（4）铁盒的全面积是4a×3a+4a×30×2+3a×30×2=12a²+420a，
底面积是12a²，
假设存在正整数n，使12a²+420a=n（12a²）
则（n-1）a=35，
则a=35，n=2或a=7，n=6或a=5，n=8或a=1，n=36
所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍，这时a=35或7或5或1．

点评 此题考查整式的混合运算，掌握正方体的全面积与底面积的计算方法是解决问题的关键．