Question

如图，已知直线l₁∥l₂，直线l₃和直线l₁、l₂交于点C和D，在直线l₃上有点P（点P与点C、D不重合），点A在直线l₁上，点B在直线l₂上．
（1）如果点P在C、D之间运动时，试说明∠PAC+∠PBD=∠APB；
（2）如果点P在直线l₁的上方运动时，试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？
（3）如果点P在直线l₂的下方运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？______（直接写出结论）

Answer 1

解：（1）过点P作PE∥l₁，
∴∠APE=∠PAC，
又∵l₁∥l₂，∴PE∥l₂，
∴∠BPE=∠PBD，
∴∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD，即∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）∠APB=∠PBD-∠PAC，

理由是：过点P作PE∥l₁，如图1所示，
∴∠APE=∠PAC，
又∵l₁∥l₂，∴PE∥l₂，
∴∠BPE=∠PBD，
∴∠APB=∠BAE+∠APE，即∠APB=∠PBD-∠PAC；

（3）∠PAC=∠PBD+∠APB．
故答案为：∠PAC=∠PBD+∠APB
分析：（1）过P点作PE∥l₁，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由与平行线中的一条平行，与另一条也平行得到PE∥l₂，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换即可得证；
（2）∠APB=∠PBD-∠PAC，如图1所示，过点P作PE∥l₁，同理即可得证；
（3）∠APB=∠PAC+∠PBD，如图2所示，过点P作PE∥l₁，同理即可得证．
点评：此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．