如图，若将正方形ABCD各边三等分，延长等分点作出新四边形MNPQ，则四边形MNPQ的面积：正方形ABCD的面积=________．

8：9
分析：根据勾股定理可以计算EF与AE的值，根据MN=3EF，AD=3AE即可计算MN与AD的比值，即可计算正方形MQPN与正方形ABCD的比值．
解答：

解：设AD=3．则AE=AF=EH=1，
根据EF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，ME=MH=EH•cos45°= $\text{[math]}$ ，
同理：NF= $\text{[math]}$ ，
∴MN=ME+EF+NF=2 $\text{[math]}$ ，
∴正方形MQPN的面积为 $\text{[math]}$ =8，
正方形ABCD的面积为3²=9，
正方形MQPN的面积：正方形ABCD的面积=8：9=8：9．
故答案为：8：9．
点评：本题考查了勾股定理的运用，考查了正方形面积的计算，本题中根据△AEF求MN与AD的比值是解本题的关键．

练习册系列答案

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23、平面内两条直线l₁∥l₂，它们之间的距离等于a．一块正方形纸板ABCD的边长也等于a．现将这块硬纸板如图所示放在两条平行线上．
（1）如图1，将点C放置在直线l₂上，且AC⊥l₁于O，使得直线l₁与AB、AD相交于E、F，证明：△AEF的周长等于2a；
请你继续完成下面的探索：
（2）如图2，若绕点C转动正方形硬纸板ABCD，使得直线l₁与AB、AD相交于E、F，试问△AEF的周长等于2a还成立吗？并证明你的结论；
（3）如图3，将正方形硬纸片ABCD任意放置，使得直线l₁与AB、AD相交于E、F，直线l₂与BC、CD相交于G，H，设△AEF的周长为m₁，△CGH的周长为m₂，试问m₁，m₂和a之间存在着什么关系？试证明你的结论．

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（3）如图④，若将正方形ABCD变为任意四边形，其他条件仍然不变，请你猜想四边形EFGH的面积并说明理由．