Question

如图，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE、AF于G、H，下列结论：①∠CEH=45°；②GF∥DE；
③2OH+DH=BD；④BG=DG；⑤．
其中正确的结论是

1. A.
   ①②③
2. B.
   ①②④
3. C.
   ①②⑤
4. D.
   ②④⑤

Answer 1

C
分析：①利用正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和与外角求得判定即可；
②由三角形的全等判定与性质，以及三角形的内角和求出判定即可；
③直接由图形判定即可；
④由特殊角的直角三角形的边角关系判定即可；
⑤两个三角形的底相同，由高的比进行判定即可．
解答：解：①由∠ABC=90°，△BEC为等边三角形，△ABE为等腰三角形，∠AEB+∠BEC+∠CEH=180°，可求得∠CEH=45°，此结论正确；
②由△EGD≌△DFE，EF=GD，再由△HDE为等腰三角形，∠DEH=30°，得出△HGF为等腰三角形，∠HFG=30°，可求得GF∥DE，此结论正确；
③由图可知2（OH+HD）=2OD=BD，所以2OH+DH=BD此结论不正确；
④如图，过点G作GM⊥CD垂足为M，GN⊥BC垂足为N，设GM=x，则GN=x，进一步利用勾股定理求得GD=x，BG=x，得出BG=GD，此结论不正确；
⑤由图可知△BCE和△BCG同底不等高，它们的面积比即是两个三角形的高之比，由④可知△BCE的高为（x+x）和△BCG的高为x，因此S_△BCE：S_△BCG=（x+x）：x=，此结论正确；
故正确的结论有①②⑤．
故选C．
点评：此题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的面积，特殊角的三角函数等知识点，学生需要有比较强的综合知识．