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在平面内,先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小,使所得多边形与原多边形对应线段的比为k,并且原多边形上的任一点P,它的对应点P′在线段OP或其延长线上;接着将所得多边形以点O为旋转中心,逆时针旋转一个角度θ,这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换,记为O(k,θ),其中点O叫做旋转相似中心,k叫做相似比,θ叫做旋转角.
(1)填空:
①如图1,将△ABC以点A为旋转相似中心,放大为原来的2倍,再逆时针旋转60°,得到△ADE,这个旋转相似变换记为A(______,______);
②如图2,△ABC是边长为1cm的等边三角形,将它作旋转相似变换A(,90°),得到△ADE,则线段BD的长为______cm;
(2)如图3,分别以锐角三角形ABC的三边AB,BC,CA为边向外作正方形ADEB,BFGC,CHIA,点O1,O2,O3分别是这三个正方形的对角线交点,试分别利用△AO1O3与△ABI,△CIB与△CAO2之间的关系,运用旋转相似变换的知识说明线段O1O3与AO2之间的关系.
【答案】分析:(1)①依题意已知1中△ABC以点A为旋转相似中心,放大为原来的2倍,再逆时针旋转60°,得到△ADE,故可得A的坐标.
②已知2中△ABC旋转相似变换A(,90°),得到△ADE,可推出∠BAD=90°,利用勾股定理可求出BD的值.
(2)依题意可得△AO1O3经过旋转相似变换A(,45°),得到△ABI,故线段O1O3变为线段BI;△CIB经过旋转相似变换C(,45°),得到△CAO2,此时,线段BI变为线段AO2,易得其关系.
解答:解:(1)这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换,记为O(k,θ),其中点O叫做旋转相似中心,k叫做相似比,θ叫做旋转角.已知1中△ABC以点A为旋转相似中心,放大为原来的2倍,再逆时针旋转60°,得到△ADE,故可得A(2,60°).
依题意:①2,60°;
②已知2中△ABC旋转相似变换A(,90°),得到△ADE以及AD=
可推出∠BAD=90°,
利用勾股定理可求出BD=2;

(2)△AO1O3经过旋转相似变换A(,45°),得到△ABI,此时,线段O1O3变为线段BI;
△CIB经过旋转相似变换C(,45°),得到△CAO2,此时,线段BI变为线段AO2
,45°+45°=90°
∴O1O3=AO2,O1O3⊥AO2
点评:本题综合考查的是旋转的性质,相似三角形的性质,等边三角形的性质以及正方形的性质,难度中等.
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(1)填空:
①如图1,将△ABC以点A为旋转相似中心,放大为原来的2倍,再逆时针旋转60°,得到△ADE,这个旋转相似变换记为A(
 
 
);
②如图2,△ABC是边长为1cm的等边三角形,将它作旋转相似变换A(
3
,90°),得到△ADE,则线段BD的长为
 
cm;
(2)如图3,分别以锐角三角形ABC的三边AB,BC,CA为边向外作正方形ADEB,BFGC,CHIA,点O1,O2,O3分别是这三个正方形的对角线交点,试分别利用△AO1O3与△ABI,△CIB与△CAO2之间的关系,运用旋转相似变换的知识说明线段O1O3与AO2之间的关系.精英家教网

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在平面内,先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小,使所得多边形与原多边形对应线段的比为k,并且原多边形上的任一点P,它的对应点P′在线段OP或其延长线上;接着将所得多边形以点0为旋转中心,逆时针旋转一个角度θ,这种经过相似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换,记为O(k,θ),其中点0叫做旋转相似中心,k叫做相似比,θ叫做旋转角.
(1)如图1,将△ABC以点A为旋转相似中心,放大为原来的2倍,再逆时针旋转60°,得到△ADE,这个旋转相似变换记为A(
2
2
60°
60°
);
(2)如图2,△ABC是边长为1cm的等边三角形,将它作旋转相似变换A(
3
,90°)得到△ADE,求线段BD的长.

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科目:初中数学 来源: 题型:

【问题】在正方形网格中,如图(一),△OAB的顶点分别为O(0,0),A(1,2),B(2,-1).
(1)以点O(0,0)为位似中心,按比例尺3:1在位似中心的同侧将△OAB放大为△OA′B′,放大后点A、B的对应点分别为A′、B′.画出△OA′B′,并写出点A'、B'的坐标:A′(
3
3
6
6
),B′(
6
6
-3
-3
);
(2)在(1)中,若点C(a,b)为线段AB上任一点,写出变化后点C的对应点C′的坐标(
3a
3a
3b
3b
);
【拓展】在平面内,先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小,使所得多边形与原多边形对应线段的比为k,并且原多边形上的任一点P,它的对应点P'在线段OP或其延长线上;接着将所得多边形以点O为旋转中心,逆时针旋转一个角度θ,这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换,记为O(k,θ),其中点O叫做旋转相似中心,k叫做相似比,θ叫做旋转角.
【探索】如图(二),完成下列问题:
(3)填空:如图1,将△ABC以点A为旋转相似中心,放大为原来的2倍,再逆时针旋转60°,得到△ADE,这个旋转相似变换记为A(
2
2
60°
60°
);
(4)如图2,△ABC是边长为3cm的等边三角形,将它作旋转相似变换A(
43
,90°)
,得到△ADE,求线段BD的长.

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科目:初中数学 来源:2007年初中毕业升学考试(江苏南京卷)数学(带解析) 题型:解答题

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(1)填空:
①如图1,将以点为旋转相似中心,放大为原来的2倍,再逆时针旋转,得到,这个旋转相似变换记为                        );
②如图2,是边长为的等边三角形,将它作旋转相似变换,得到,则线段的长为           
(2)如图3,分别以锐角三角形的三边为边向外作正方形,点分别是这三个正方形的对角线交点,试分别利用之间的关系,运用旋转相似变换的知识说明线段之间的关系.

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(1)填空:

    ①如图1,将以点为旋转相似中心,放大为原来的2倍,再逆时针旋转,得到,这个旋转相似变换记为                          );

②如图2,是边长为的等边三角形,将它作旋转相似变换,得到,则线段的长为            

(2)如图3,分别以锐角三角形的三边为边向外作正方形,点分别是这三个正方形的对角线交点,试分别利用之间的关系,运用旋转相似变换的知识说明线段之间的关系.

 

 

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