Question

已知等边△ABC中∠ACB、∠ABC的平分线交于点O，BO、CO的垂直平分线分别交BC于点E、F，垂足分别为M、N，那么线段BE、EF与FC的大小有什么关系？并说明理由．

Answer 1

分析：根据角平分线的定义可得出∠OBE=∠OCF=30°，再根据OB和OC的垂直平分线交BC于E、F，得出∠OEF=∠OFE=60°，则三角形OEF为等边三角形，测得出BE=EF=FC．

解答：
解：结论：BE=EF=FC，（1分）
理由是：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，（2分）
∵OB，OC平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBE=∠OCF=30°，（3分）
连接OE，OF，
∵EM，FN垂直平分OB，OC，
∴OE=BE，OF=FC，（5分）
∴∠BOE=∠OBE=30°，∠COF=∠OCF=30°，
∴∠OEF=∠OFE=60°，
∴三角形OEF是等边三角形，（8分）
∴OF=OE=EF，
∴BE=EF=FC．（10分）

点评：本题综合考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质，利用转化的数学思想．熟练运用线段的垂直平分线定理是解本题的关键．