Question

探究一：如图1，∠FDC，∠ECD为△ADC的两个外角，则∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系

 

．
探究二：如图2，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，则∠P与∠A的数量关系

 

．
探究三：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，则∠P与∠A+∠B的数量关系是

 

．

探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF呢？则∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系

 

．
探究五：如图，四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直角构成的锐角，设∠A=α，∠D=β；
（1）如图4，α+β＞180°，则∠F=

 

；（用α，β表示）
（2）如图5，α+β＜180°，请在图中画出∠F，且∠F=

 

；（用α，β表示）
（3）一定存在∠F吗？如有，直接写出∠F的值；如不一定，请直接指出α，β满足什么条件时，∠F不一定存在．

Answer 1

考点：三角形的外角性质,三角形内角和定理

专题：

分析：探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠FDC、∠ECD，再根据三角形的内角和定理整理即可得解；
探究二：根据三角形的内角和定理用∠A表示出∠ADC+∠ACD，再根据角平分线的定义表示出∠PDC+∠PCD，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；
探究三：根据四边形的内角和定理用∠A+∠B表示出∠ADC+∠BCD，再根据角平分线的定义表示出∠PDC+∠PCD，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；
探究四：根据六边形的内角和定理表示出∠BCD+∠CDE，再根据角平分线的定义表示出∠PDC+∠PCD，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；
探究五：（1）根据四边形的内角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根据角平分线的定义可得∠FBC=

1

2

∠ABC，∠FCE=

1

2

∠DCE，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠F+∠FBC=∠FCE，然后整理即可得解；
（2）同（1）的思路求解即可；
（3）根据∠F的表示，∠F为0时不存在．

解答：解：探究一：由三角形的外角性质得，∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，
∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC，
∵∠A+∠ADC+∠ACD=180°，
∴∠FDC+∠ECD=180°+∠A；

探究二：由三角形内角和定理得，∠A+∠ADC+∠ACD=180°，
∴∠ADC+∠ACD=180°-∠A，
∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC+∠PCD=

1

2

（∠ADC+∠ACD）=

1

2

（180°-∠A），
∴∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A，
即∠P=90°+

1

2

∠A；

探究三：由四边形内角和定理得，∠ADC+∠BCD=360°-（∠A+∠B）=360°-∠A-∠B，
∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC+∠PCD=

1

2

（∠ADC+∠ACD）=

1

2

（360°-∠A-∠B），
∴∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=180°-

1

2

（360°-∠A-∠B）=

1

2

（∠A+∠B），
即∠P=

1

2

（∠A+∠B）；

探究四：若改成六边形，则∠BCD+∠CDE=（6-2）•180°-（∠A+∠B+∠E+∠F）=720°-（∠A+∠B+∠E+∠F），
由角平分线的定义得，∠PDC+∠PCD=

1

2

（∠BCD+∠CDE）=

1

2

（720°-∠A-∠B-∠E-∠F），
∴∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=180°-

1

2

（720°-∠A-∠B-∠E-∠F）=

1

2

（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°，
即∠P=

1

2

（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°；

探究五：（1）由四边形内角和定理得，∠BCD=360°-∠A-∠D-∠ABC，
∴∠DCE=180°-（360°-∠A-∠D-∠ABC）=∠A+∠D+∠ABC-180°，
由三角形的外角性质得，∠DCE=∠A+∠D+∠ABC，∠FCE=∠F+∠FBC，
∵BF、CF分别是∠ABC和∠DCE的平分线，
∴∠FBC=

1

2

∠ABC，∠FCE=

1

2

∠DCE，
∴∠F+∠FBC=

1

2

（∠A+∠D+∠ABC-180°）=

1

2

（∠A+∠D）+

1

2

∠ABC-90°，
∴∠F=

1

2

（∠A+∠D）-90°，
∵∠A=α，∠D=β，
∴∠F=

1

2

（α+β）-90°；
（2）同（1）可求，∠F=90°-

1

2

（α+β）；
（3）∠F不一定存在，当α+β=180°时，∠F=0，不存在．
故答案为：∠FDC+∠ECD=180°+∠A；∠P=90°+

1

2

∠A；∠P=

1

2

（∠A+∠B）；∠P=

1

2

（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°；

1

2

（α+β）-90°；90°-

1

2

（α+β）．

点评：本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，读懂题目信息是解题的关键，要注意整体思想的利用．