Question

2．如图，△ABC是等边三角形，AE∥BC，点D在线段AC的延长线上，连接DE、DB，且DB=DE；
（1）求证：∠BDE=60°；
（2）点F在线段AB上，连接DF，且BD=DF，求证：AF=CD；
（3）在（2）的条件下，作EM⊥BC，垂足为点M，连接DM，若AF：BF=3：2，CM=1，求线段DM的长度．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作DG⊥AB于G，DN⊥AE于N．只要证明△DGB≌△DNE，得∠BDG=∠EDN，推出∠BDE=∠GDN，求出∠GDN即可解决问题．
（2）证明：如图2中，作DG⊥AB于G，DN⊥AE于N．连接BE．只要证明△ABE≌△CBD，△ADF≌△ADE，即可推出AF=AE=CD．
（3）如图3中，作DG⊥AB于G，DN⊥AE于N，DN交BC的延长线于K．设AB=BC=AC=5a，则BG=GF=EN=KM=a，由CK∥AN，推出$\frac{DC}{DA}$=$\frac{CK}{AN}$，列出方程求出a，再利用勾股定理即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，作DG⊥AB于G，DN⊥AE于N．

∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∵AE∥BC，
∴∠CAE=∠ACB=60°，
∴∠CAB=∠CAE，∵DG⊥AB，DN⊥AE，
∴DG=DN，∠DGB=∠N=90°，
在Rt△DGB和△DNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=DE}\\{DG=DN}\end{array}\right.$，
∴△DGB≌△DNE，
∴∠BDG=∠EDN，
∴∠BDE=∠GDN
∵∠GDN=360°-∠AGD-∠N-∠GAN=60°，
∴∠BDE=60°．

（2）证明：如图2中，作DG⊥AB于G，DN⊥AE于N．连接BE．

由（1）可知∠BDE=60°，∵DB=DE，
∴△BDE是等边三角形，
∴BE=BD，∠EBD=60°，
∵∠ABC=∠EBD=60°，
∴∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠CBD}\\{BE=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBD，
∴AE=CD，
由（1）可知，△DGB≌△DNE，
∴∠DBG=∠DEN，
∵DB=DF，
∴∠DBF=∠DFB，
∴∠DFB=∠DEN，
∴∠AFD=∠AED，
在△ADF和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠DAE=∠ADF}\\{∠AFD=∠AED}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ADE，
∴AF=AE，
∴AF=CD．

（3）解：如图3中，作DG⊥AB于G，DN⊥AE于N，DN交BC的延长线于K．设AB=BC=AC=5a，

∵AF：BF=3：2，BG=FG，
∴GF=BG=a，
∵四边形ENKM是矩形，
∴EN=KM=BG=a，AN=AE+EN=4a，CK=CM+MK=1+a，
∵CK∥AN，
∴$\frac{DC}{DA}$=$\frac{CK}{AN}$，
∴$\frac{3a}{8a}$=$\frac{1+a}{4a}$，
∴a=2，
∴CD=6，在Rt△CDK中，∵∠DCK=60°，∠CKD=90°，
∴∠CDK=30°，∴CK=$\frac{1}{2}$CD=3，
∴DK=$\sqrt{C{D}^{2}-C{K}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴DM=$\sqrt{M{K}^{2}+D{K}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{31}$．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线性质定理、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．