Question

如图，AB为⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为AB延长线上一点，过D作⊙O的切线，E为切点，连CE交AB于F．
（1）求证：DE=DF；
（2）连AE，若tanC=，求tanA的值．

Answer 1

（1）证明：连接OE，
∵半径OC⊥AB，
∴∠COD=90°，
∴∠OCF+∠CFO=90°
∵DE是⊙O的切线，E为切点，
∴∠OED=90°，
∴∠OEC+∠FED=90°，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OFC=∠FED，
∵∠OFC=∠DFE，
∴∠DFE=∠DEF，
∴DE=DF；

（2）解：连BC，过F作BC的垂线，垂足为H，
∵OC=OB，半径OC⊥AB，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵若tanC=，
∴可设OF=1，则OC=4，BF=3，
∴FH=BH=，BC=4，
∴HC=BC-BH=4-=，
∴在RT△CFH中，tanA=tan∠HCF=．
分析：（1）连接OE，若要证明DE=DF，则只要证明∠DFE=∠DEF即可；
（2）连BC，过F作BC的垂线，垂足为H，由题意可知△C0B为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，圆周角定理以及已知条件即可求出tanA的值．
点评：本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质和判定等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理以及锐角三角函数，对于考查学生的综合解题能力是一道相当不错的题目．