Question

如图1，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD沿对角线AC平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重合时停止移动．平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q．设S表示矩形PCMH的面积，S′表示矩形NFQC的面积．
（1）S与S′相等吗？请说明理由．
（2）设AE=x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？
（3）如图2，连接BE，当AE为何值时，△ABE是等腰三角形．

Answer 1

解：（1）相等
理由是：因为四边形ABCD、EFGH是矩形，
所以S_△EGH=S_△EGF，S_△ECN=S_△ECP，S_△CGQ=S_△CGM
所以S_△EGH-S_△ECP-S_△CGM=S_△EGF-S_△ECN-S_△CGQ，即：S=S′

（2）AB=3，BC=4，AC=5，
设AE=x，则EC=5-x，PC=（5-x），MC=x，
所以S=PC•MC=x（5-x），
即S=-x²+x（0≤x≤5）
配方得：S=-（x-）²+3，
所以当x=时，
S有最大值3

（3）当AE=AB=3或AE=BE=或AE=3.6时，△ABE是等腰三角形．
分析：（1）相等，矩形FGHE中，对角线所分的两直角三角形△FGE和△HGE的面积相等；
矩形ENCP中，对角线所分的两直角三角形△ENC和△EPC的面积相等；
矩形CQGM中，对角线所分的两直角三角形△CQG和△CMG的面积相等；
因此矩形NFQC的面积和矩形PCMH的面积相等，即S=S′．
（2）求矩形MFQC的面积，首先要求出NF和NC的长，已知了AE=x，那么EC=5-x，可在直角三角形ECN中，根据EC的长和∠ECN的正弦和余弦值求出EN，CN的长，进而可得出NF，CN的长，根据矩形的面积公式即可得出S，x的函数关系式．然后根据函数的性质可得出S的最大值及对应的x的值．
（3）本题要分三种情况进行讨论：
①AE=BE，此时E为AC的中点，因此x=2.5．
②当AE=AB，已知了AB的长，即可求出x的值．
③当AB=BE，过B作AE的垂线，先根据AB的长和∠BAC的余弦值求出x的一半的长，进而可求出x的值．
点评：本题主要考查了矩形的性质、解直角三角形、二次函数的应用、等腰三角形的判定等知识点．（3）题在不确定等腰三角形的腰和底的情况下要分类进行求解，不要漏解．