Question

已知

a-1

是方程x²-

3

x=3x-1的一个根．试求代数式（

a2+6

a2-1

-

a+1

a-1

+1）÷

a3+8

a4+3a3+2a2

的值．

Answer 1

考点：分式的化简求值,一元二次方程的解

专题：

分析：把所求代数式的分子分母分解因式并利用分式的加减运算和乘除运算整理得到

a2

a-1

，再根据方程的解的定义把方程的根代入方程求出a²=（12+6

3

）（a-1），然后计算即可得解．

解答：解：（

a2+6

a2-1

-

a+1

a-1

+1）÷

a3+8

a4+3a3+2a2

，
=

a2+6-a2-2a-1+a2-1

a2-1

×

a2(a2+3a+2)

(a+2)(a2-2a+4)

，
=

a2-2a+4

(a+1)(a-1)

×

a2(a+1)(a+2)

(a+2)(a2-2a+4)

，
=

a2

a-1

，
∵

a-1

是方程x²-

3

x=3x-1的一个根，
∴a-1=（3+

3

）

a-1

-1，
∴a=（3+

3

）

a-1

，
两边平方得，a²=（12+6

3

）（a-1），
∴

a2

a-1

=12+6

3

，
即代数式（

a2+6

a2-1

-

a+1

a-1

+1）÷

a3+8

a4+3a3+2a2

的值为12+6

3

．

点评：本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解的定义，分式的化简求值，关键在于把所求代数式的分子分母分解因式，此题用到立方和公式，也是本题的难点．